拓扑优化（TO）是一种数学方法，可优化给定设计空间内的材料布局，针对给定的一组载荷，边界条件和约束，以最大化系统性能为目标。?TO与形状优化和尺寸优化不同，设计可以在设计空间内获得任何形状，而不是处理预定义的配置。

传统的TO公式使用有限元法[FEM]来评估设计性能。?使用基于梯度的数学编程技术（例如最优性标准算法）和移动渐近线的方法或基于非梯度的算法（例如遗传算法）来优化设计。

拓扑优化在航空航天，机械，生物化学和土木工程中具有广泛的应用。?目前，工程师大多在设计过程的概念层面使用TO。?由于自然形成的自由形式，结果通常难以制造。?出于这个原因，TO产生的结果通常会因可制造性而微调。?为配方添加限制以提高可制造性是一个活跃的研究领域。?在某些情况下，TO的结果可以使用增材制造直接制造;?因此，TO是增材制造设计的关键部分。

历史
这种源自数学的方法在2000年代被明确定义，解释并可用于力学，尤其是Ole Sigmund的创始文章。

越来越复杂的拓扑优化软件使工程师能够为对象保存可能的材料，同时保持或提高其强度或灵活性（如果需要），并考虑到将对其施加的约束。，以前基于直觉的工作，方法试验和错误和/或创作者和/或制造工程师的天才。

一个非常简单的例子是优化减少自行车车轮辐条的数量。?到目前为止，只涉及简单的表格，因为这些软件在计算时非常贪婪，或者很快受到所请求工作的复杂性的限制

2017年10月，在自然杂志上，来自丹麦大学的研究人员提出了一种方法，可以为大型物体做这项工作，提高分辨率（图像2d由像素组成，而3D图像由体素组成。直到最近，优化的3D模型的分辨率仅限于500万个体素，但是一个新的程序优化了高达10亿个体素的对象，例如通过优化机翼进行建模和重新设计。波音777轻量化5％，同时从内部加强通过弯曲的纵向和斜肋而不是在网格中…预计每年可节省200吨煤油。这需要通过超级计算机和这种设计计算几天（这会唤起一些骨头的内部或内部的部分昆虫外骨骼）目前“无法管理”，但3D打印的进展很快就可以实现。

问题陈述
拓扑优化问题可以用优化问题的一般形式编写，如：

问题陈述包括以下内容：

一个客观的功能??。?此函数表示为最佳性能而最小化的数量。?最常见的目标函数是合规性，其中最小化合规性导致最大化结构的刚度。

材料分布作为问题变量。?这由每个位置的材料密度来描述??。?材料存在，由1表示，或者不存在，由0表示。

设计空间??。?这表示设计可以存在的容许量。?装配和包装要求，人员和工具可访问性是识别此空间时需要考虑的一些因素。?通过设计空间的定义，模型中在优化过程中无法修改的区域或组件被视为非设计区域。

?限制??解决方案必须满足的特征。?例如，要分配的最大材料量（体积约束）或最大应力值。

评估??通常包括求解微分方程。?这通常使用有限元方法来完成，因为这些方程没有已知的分析解。

实施方法
已经有各种实现方法用于解决TO问题。?在力学中，求解拓扑优化问题涉及使用有限元方法对部件或部件组进行建模。然后，拓扑优化的经典方法在于在优化体积的每个点处考虑物质密度。在0和1之间变化。其他方法考虑材料的局部取向（对于非各向同性材料）或甚至其他特征。?在这些方法中，优化通常涉及最小化结构的应变能，这相当于粗略地找到可能的最刚性结构。?我们既可以设置用于突出最佳形式的材料数量，也可以指导设计和优化，或者直接寻求定义最小化材料的形式，以最小化最大结构，遵守不超过的约束。?在实践中，和阈值处理，特别是施加与制造过程相关的特定几何约束（对称性，空心体积的授权或不，……，关节平面）。

要克服的主要步骤和困难通常如下：

定义要设计的零件的规格：
真正可用的空间：它通常比可能存在的空间大得多，并且可以通过平放实际填充的功能和围绕该房间的约束或者重新设计的房间组来进一步扩大。?我们不能忘记施加或禁止材料的区域（出于功能或美学原因）。
与环境的机械连接：有必要将相邻部件的连接平放，因为紧固区域通常比先验设想的更自由。?有时不清楚阻挡哪些区域或哪些区域受力加载，最实际的是想象如何在测试台上测试该部件，例如固定链路和插孔。
机械力受到影响：有必要考虑零件所见的所有机械载荷，超出主要功能，即。?例如，与制造步骤（包括加工）有关的努力，与工件处理（工件的组装/拆卸，运输），意外工作（冲击）有关的努力。
对称性和制造条件（计算机软件越来越多地考虑到这一点）。

开始拓扑优化计算：网格的精度必须适应所需的空间精度和可用的计算机资源;?计算可能很长，所以我们尝试在几分钟的范围内进行第一次计算，然后对它们进行细化。?还需要检查算法如何考虑不同的加载情况。?实际上，如果只是寻找给定质量可能的最刚性结构，则可以简单地将不同载荷的能量相加，然后有必要将它们加在一起。?另一方面，如果目标是获得最轻的可能不会断裂的部件，则无需加重。
结果分析：为了显示易于理解的部分（具有明确的真空和丰满度），结果通常由软件过滤以进行显示（例如，完全对应于材料密度大于50％的区域，否则它是空的）。?因此，有必要考虑到，通常它是一种或多或少密集/多孔的物质，其实际上被算法考虑，并且与其余物质无关的可能的物质区域同时是非常可能的。?显示，因为它们通过低密度材料链接到其余部分，而不显示。?因此，结果是假装定义一个由空和完整组成的片段，更接近算法提出的内容。

有一些参数（有时是隐藏的）可以详细探索这些细微之处：材料的阈值（一般默认为50％），惩罚（参数限制密度区域约为50％，但可能会降低算法的收敛性），过滤/平滑（过滤器允许消除被认为太小的细节），当然还有网格的细度（允许显示或多或少精细的细节）。?在这个阶段经常意识到所获得的形式是荒谬的，通常是在省略主要约束之后，或者因为问题构成不当（例如，如果没有足够的连接到框架来维持房间，或者因为堵塞或者已经对禁止使用该材料的区域进行了努力。?但是可以降低算法的收敛性，过滤/平滑（过滤器允许消除被认为太小的细节），当然还有网格的细度（这使得可以揭示或多或少精细的细节）。

在这个阶段经常意识到所获得的形式是荒谬的，通常是在省略主要约束之后，或者因为问题构成不当（例如，如果没有足够的连接到框架来维持房间，或者因为堵塞或者已经对禁止使用该材料的区域进行了努力。?但是可以降低算法的收敛性，过滤/平滑（过滤器允许消除被认为太小的细节），当然还有网格的细度（这使得可以揭示或多或少精细的细节）。?在这个阶段经常意识到所获得的形式是荒谬的，通常是在省略主要约束之后，或者因为问题构成不当（例如，如果没有足够的连接到框架来维持房间，或者因为堵塞或者已经对禁止使用该材料的区域进行了努力。

绘图和验证：一旦对结果的解释合并，可以尽可能接近所获得的拓扑（条/板的数量，方向，相对厚度），但可能更令人愉悦，因为这样 – 通过拓扑优化获得的称为“有机”形式并不总是合适的。?这就是为什么我们有时通过限制仅在要被照亮的房间内的拓扑优化（不可见部分）来在房间外部（可见部分）施加皮肤。?如果可能的话，最好使用格子（即梁或墙的紧密网络，如泡沫），以便将中间密度材料放在计算出现的位置（c’）

连续和离散拓扑优化
可以区分连续和离散拓扑优化。?在连续拓扑优化中，寻求安装空间中的材料分布。?在离散拓扑优化中，寻求离散元素作为建筑空间的覆盖。?例如，可以搜索最佳框架，其最终表示整个对象的拓扑。

连续拓扑优化
在实践中，在设计过程中使用拓扑优化来获得组件初始设计的建议。?在这样做时，设计者必须首先确定最大可用空间和边界条件（载荷和约束）。?这些数据被转换为有限元模型（FE=有限元）。

基本上，根据材料和几何拓扑优化进行区分。?在几何拓扑优化中，部件的几何形状由外边界的形状，即边缘和表面来描述。?这也在部件边界内形成凹槽并且形状不同。?材料拓扑优化描述了设计空间中零件的几何形状。?这里，设计空间中的每个有限元都被赋予密度。?对于简单的优化算法，例如最优性标准（例如全应力设计），密度设置为0或100％，就像简单的开/关开关一样。?完全应力设计保留了在最大允许应力附近受到应力的元素，因此在优化结束时，几乎FE网格的每个元素都在强度方面得到充分利用。?数学规划是一种优化算法，它使用目标函数的偏导数来确定下一次迭代的各个参数的变化。因此，必须存在用于可微分的连续密度分布。?在所谓的Homogenisierungsmethode中，密度的变化由每个有限元中的微观中空体描述，然后通过非线性，宏观材料定律在弹性模量的变化中转移。?结果，可以计算部件的应力和变形。?通过这种拓扑优化，您可以获得坚固，多孔的设计模型，由于骨骼结构和忽略制造限制，只能帮助找到形状。?改善结果的一种方法是将有限元模型返回到平滑的oneCAD曲面模型。?如有必要，还可以考虑制造限制。

离散拓扑优化
最早的拓扑优化之一是由Anthony George Maldon Michell完成的。?但即使在今天，拓扑优化也是通过桁架进行的。?原因是计算时间短;?尽管与连续拓扑优化的情况相比，与现实的接近程度要远得多。

通过将设计域离散为有限元来完成解决离散意义上的问题。?然后将这些元素内的材料密度视为问题变量。?在这种情况下，1的材料密度表示材料的存在，而0表示没有材料。?由于设计的可达到的拓扑复杂性取决于元素的量，因此优选大量。?大量的有限元增加了可达到的拓扑复杂性，但需要付出代价。?首先，解决FEM系统变得更加昂贵。?其次，可以处理具有多个约束的离散变量的大量（数千个元素并不罕见）的算法是不可用的。?而且，它们对参数变化不切实际。?在文献中报道了多达30000个变量的问题

用连续变量解决问题
前面提到的使用二进制变量解决TO问题的复杂性导致社区搜索其他选项。?一个是用连续变量建模密度。?材料密度现在也可以达到0到1之间的值。?可以使用基于梯度的算法来处理大量连续变量和多个约束。?但材料属性必须在连续设置中建模。?这是通过插值完成的。?最实现的插值方法之一是SIMP方法（具有惩罚的固体各向同性材料）。?这种插值本质上是一种幂律??。?它将材料的杨氏模量插值到标量选择域。?惩罚参数的值??通常是介于两者之间??。?已经证明这证实了材料的微观结构。?在SIMP方法中，增加了杨氏模量的下限，??，当密度为零时，确保目标函数的导数不为零。?惩罚因子越高，SIMP在使用非二进制密度时惩罚算法越多。?不幸的是，惩罚参数也引入了非凸性。

形状衍生物
拓扑衍生物
等级设定
相场
进化结构优化
商业软件
市场上有几种商业拓扑优化软件。?他们中的大多数使用拓扑优化作为提示最佳设计应该是什么样的提示，并且需要手动几何重构。?有一些解决方案能够为增材制造提供最佳设计。

例子
结构合规
刚性结构是在给定某些边界条件时具有最小可能位移的结构。?位移的全局测量是在规定的边界条件下结构的应变能（也称为顺应性）。?应变能越低，结构的刚度越高。?因此，问题陈述涉及必须最小化的应变能的客观功能。

在广泛的层面上，人们可以想象材料越多，偏转越小，因为将有更多的材料抵抗负载。?因此，优化需要相反的约束，即体积约束。?这实际上是一个成本因素，因为我们不想在材料上花费很多钱。?为了获得所使用的总材料，可以在体积上进行选择区域的整合。

最后插入弹性控制微分方程，以得到最终的问题陈述。

受制于：

但是，由于以下问题，在这种问题的有限元框架中直接实现仍然是不可行的：

网格依赖性 – 网格依赖性意味着在一个网格上获得的设计不是将在另一个网格上获得的设计。?随着网格的细化，设计的特征变得更加复杂。
数值不稳定性 – 以棋盘形式选择区域。

目前正在使用诸如基于图像处理的过滤的一些技术来缓解这些问题中的一些。

3F3D表格遵循强制3D打印
目前3D打印机技术的激增使设计人员和工程师在设计新产品时能够利用拓扑优化技术。

拓扑优化与3D打印相结合，可实现显着的轻量化，改进的结构性能和缩短的设计到制造周期。

多物理场问题
流体结构相互作用
热电